详解GAN的谱归一化（Spectral Normalization）
作者丨尹相楠
学校丨里昂中央理工博士在读
研究方向丨人脸识别、对抗生成网络
本文主要介绍谱归一化这项技术，详细论文参考 Spectral Normalization for Generative Adversarial Networks。
本文主要对论文中的基础知识和遗漏的细节做出补充，以便于更好地理解谱归一化。部分内容参考并整合了如下两篇博客。
http://kaiz.xyz/blog/posts/spectral-norm/
https://christiancosgrove.com/blog/2018/01/04/spectral-normalization-explained.html
Lipschitz Continuity
在 GAN 中，假设我们有一个判别器 D: I→R，其中 I 是图像空间。如果判别器是 K-Lipschitz continuous 的，那么对图像空间中的任意 x 和 y，有：
其中 || · || 为 L2 norm，如果 K 取到最小值，那么 K 被称为 Lipschitz constant。
直观地来说，Lipschitz 条件限制了函数变化的剧烈程度，即函数的梯度。在一维空间中，很容易看出 y=sin(x) 是 1-Lipschitz 的，它的最大斜率是 1。
那么，为什么要使判别器函数具有 Lipschitz continuity 呢？Wasserstein GAN 提出了用 wasserstein 距离取代之前的 KL 散度或者 JS 散度，作为 GAN 判别器的损失函数：
其中 Pr 和 Pg 分别为真实数据和生成数据的分布函数，Wasserstein 距离衡量了这两个分布函数的差异性。
直观地理解，就是根据这两个分布函数分别生成一堆数据 x1, x2, ... , xn 和另一堆数据 y1, y2, ... , yn，然后计算这两堆数据之间的距离。距离的算法是找到一种一一对应的配对方案 γ~∏(Pr, Pg)，把 xi 移动到 yj，求总移动距离的最小值。
由于在 GAN 中， Pr 和 Pg 都没有显式的表达式，只能是从里面不停地采样，所以不可能找到这样的 γ，无法直接优化公式 (2) 。W-GAN 的做法是根据 Kantorovich-Rubinstein duality，将公式 (2) 转化成公式 (3)，过程详见以下链接：
https://vincentherrmann.github.io/blog/wasserstein/
其中 f 即为判别器函数。只有当判别器函数满足 1-Lipschitz 约束时，(2) 才能转化为 (3)。除此之外，正如上文所说，Lipschitz continuous 的函数的梯度上界被限制，因此函数更平滑，在神经网络的优化过程中，参数变化也会更稳定，不容易出现梯度爆炸，因此 Lipschitz continuity 是一个很好的性质。
为了让判别器函数满足 1-Lipschitz continuity，W-GAN 和之后的 W-GAN GP 分别采用了 weight-clipping 和 gradient penalty 来约束判别器参数。这里的谱归一化，则是另一种让函数满足 1-Lipschitz continuity 的方式。
矩阵的Lipschitz Continuity
众所周知，矩阵的乘法是线性映射。对线性映射来说，如果它在零点处是 K-Lipschitz 的，那么它在整个定义域上都是 K-Lipschitz 的。
想象一条过零点的直线，它的斜率是固定的，只要它上面任何一点是 K-Lipschitz 的，那么它上面所有点都是 K-Lipschitz 的。因此，对矩阵
对其做如下变换：
其中 <·> 表示两个向量的内积。由于矩阵
要使公式 (6) 对任意 xi 恒成立，且 λi 非负，则必有
综上所述，映射
通过上面的讨论，我们得出了这样的结论：矩阵 A 除以它的 spectral norm（
矩阵的奇异值分解
上文提到的矩阵的 spectral norm 的另一个称呼是矩阵的最大奇异值。回顾矩阵的 SVD 分解：
矩阵
其中：
U 是一个 m × m 的单位正交基矩阵
Σ 是一个 m × n 的对角阵，对角线上的元素为奇异值，非对角线上的元素为 0
V 是一个 n × n 的单位正交基矩阵
▲ SVD分解
由于 U 和 V 都是单位正交基，因此可以把矩阵乘以向量分成三步：旋转，拉伸，旋转。一前一后的两步旋转不改变向量的模长，唯一改变向量模长的是中间的拉伸，即与 Σ 相乘的那一步。而矩阵的 Lipschitz continuity 关心的正是矩阵对向量模长的改变，不关心旋转。
因此，只需要研究中间的 Σ 即可。而 Σ 又是一个对角矩阵，因此，它对向量的模长拉长的最大值，就是对角线上的元素的最大值。也就是说，矩阵的最大奇异值即为它的 spectral norm。
根据公式 (7) ，以及 SVD 分解中 U 和 V 都是单位正交基，单位正交基的转置乘以它本身为单位矩阵，有：
因此，只需要求出
神经网络的Spectral Norm
对于复合函数，我们有这样的定理：
而多层神经网络，正是多个复合函数嵌套的操作。最常见的嵌套是：一层卷积，一层激活函数，再一层卷积，再一层激活函数，这样层层包裹起来。
激活函数通常选取的 ReLU，Leaky ReLU 都是 1-Lipschitz 的，带入到 (9) 中相乘不影响总体的 Lipschitz constant，我们只需要保证卷积的部分是 1-Lipschitz continuous 的，就可以保证整个神经网络都是 1-Lipschitz continuous 的。
而在图像上每个位置的卷积操作，正好可以看成是一个矩阵乘法。因此，我们只需要约束各层卷积核的参数 W，使它是 1-Lipschitz continuous 的，就可以满足整个神经网络的 1-Lipschitz continuity。
我们已经知道，想让矩阵满足 1-Lipschitz continuous，只需要让它所有元素同时除以它的最大奇异值，或者说是它的 spectural norm。因此，下一步的问题是如何计算 W 的最大奇异值。
对大矩阵做 SVD 分解运算量很大，我们不希望在优化神经网络的过程中，每步都对卷积核矩阵做一次 SVD 分解。一个近似的解决方案是 power iteration 算法。
Power Iteration
Power iteration 是用来近似计算矩阵最大的特征值（dominant eigenvalue 主特征值）和其对应的特征向量（主特征向量）的。
假设矩阵 A 是一个 n × n 的满秩的方阵，它的单位特征向量为 v1, v2,..., vn，对应的特征值为 λ1, λ2,..., λn。那么对任意向量 x=x1·v1+x2·v2+ ... +xn·vn，有：
我们经过 k 次迭代：
由于 λ1, λ2,..., λn（不考虑两个特征值相等的情况，因为太少见了）。可知，经过 k 次迭代后
也就是说，经过 k 次迭代后，我们将得到矩阵主特征向量的线性放缩，只要把这个向量归一化，就得到了该矩阵的单位主特征向量，进而可以解出矩阵的主特征值。
而我们在神经网络中，想求的是权重矩阵 W 的最大奇异值，根据上面几节的推导，知道这个奇异值正是
如果单纯看分子，我们发现这两步合起来就是
其实这种归一化并不影响向量
那么，知道
而将公式 (13) 的第二个式子两边同时左乘
最终，(15) 即为论文中提出的权重矩阵 W 的 spectral norm 公式。
而在具体的代码实现过程中，可以随机初始化一个噪声向量
因此，可以把参数更新的 step 和求矩阵最大奇异值的 step 融合在一起，即每更新一次权重 W ，更新一次
具体代码见：
https://github.com/christiancosgrove/pytorch-spectral-normalization-gan
点击以下标题查看更多往期内容：
让你的论文被更多人看到
如何才能让更多的优质内容以更短路径到达读者群体，缩短读者寻找优质内容的成本呢？ 答案就是：你不认识的人。
总有一些你不认识的人，知道你想知道的东西。PaperWeekly 或许可以成为一座桥梁，促使不同背景、不同方向的学者和学术灵感相互碰撞，迸发出更多的可能性。
PaperWeekly 鼓励高校实验室或个人，在我们的平台上分享各类优质内容，可以是最新论文解读，也可以是学习心得或技术干货。我们的目的只有一个，让知识真正流动起来。
📝 来稿标准：
• 稿件确系个人原创作品，来稿需注明作者个人信息（姓名+学校/工作单位+学历/职位+研究方向）
• 如果文章并非首发，请在投稿时提醒并附上所有已发布链接
• PaperWeekly 默认每篇文章都是首发，均会添加“原创”标志
📬 投稿邮箱：
• 投稿邮箱：hr@paperweekly.site
• 所有文章配图，请单独在附件中发送
• 请留下即时联系方式（微信或手机），以便我们在编辑发布时和作者沟通
🔍
现在，在「知乎」也能找到我们了
进入知乎首页搜索「PaperWeekly」
点击「关注」订阅我们的专栏吧
关于PaperWeekly
PaperWeekly 是一个推荐、解读、讨论、报道人工智能前沿论文成果的学术平台。如果你研究或从事 AI 领域，欢迎在公众号后台点击「交流群」，小助手将把你带入 PaperWeekly 的交流群里。
▽ 点击 | 阅读原文 | 获取最新论文推荐